什么样的知识值得学？

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生成式 AI 时代，知识变得触手可得。一些知识博主原形毕露，特别是那些标榜长期主义，实际上只不过在保持低水平重复的人，他们一年的成果甚至不及几句提示词。

AI 的出现对个人也是一种警示，经常思考哪些知识才值得学习。

对大多数人而言，哪些知识真正值得学习？哈佛大学教授戴维·珀金斯在《为未知而教，为未来而学》这本书中，给出了他的答案。他将知识分为全局知识和利基知识，全局知识指的是对某一个学科的全局性理解，可用以下四个标准衡量：

简而言之，知识必须在某些场合实际运用，才值得学习。

与全局知识相对应的则是利基知识，珀金斯举了二次方程的例子，认为二次方式除了应付考试，很难在实际生活中运用，因此，它不具有生活价值，类似的还有有丝分裂等概念。

我认为珀金斯对知识的划分有两个问题。首先，实操性太差，想掌握某学科全局认识的人，借助这四条标准无法过滤所学内容，因为新手的认知达不到用这几条标准筛选所学内容的水平。因此，全局认识更适合专业人士对自己的领域进行总结，作为给想要学习该领域的人作为参考。

其次，这种划分过于机械化，仅停留在知识表象，且只能解决学科内问题，无法解决跨学科问题。以数学为例，按照珀金斯的划分，大部分高等数学都应该属于利基知识，不值得花大量时间去学习。

然而，最近我重新学习数学后，意识到珀金斯关于数学的观点明显是错的。虽然学习数学时，许多知识生活中确实用不太上，但是却能够大幅提高人的思维水平。我将以最近学习的高等数学碰到的芝诺悖论为例说明。

如果要找出杠精界鼻祖，非芝诺莫属。古希腊哲学家芝诺因为它所提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论为后人所熟知，其中最著名的两个悖论为「阿基里斯追乌龟」和「飞矢不动」。今天重点介绍阿基里斯追乌龟悖论。

阿基里斯就相当于兔子，在一场龟兔赛跑的比赛，兔子的速度是乌龟的 10 倍。假设在起跑的时候乌龟起点领先兔子 100 米。那么兔子能否追上乌龟？

对于大部分人来说，这道题就是常识性问题，兔子肯定能追上乌龟，事实也是如此。可芝诺却给出了不一样的说法：

比赛开始时，兔子和乌龟距离 100 米，当兔子到达乌龟的出发点时，因为乌龟速度时兔子的十分之一，所以这时乌龟已经向前走了 10 米。所以兔子必须继续追乌龟，而当兔子又向前跑了 10 米，这时候乌龟已经又向前移动了 1 米。以此类推，乌龟总能领先兔子一个距离，不管这个距离有多小，乌龟永远追不上兔子！

思想实验是一种典型的认知方式，而悖论则是思想实验中的一类经典问题，反驳悖论的关键在于找出错误的假设。如果单看芝诺的文字描述，很难找到反驳的切入点。但是如果我们用另外一种思想方式-符号化思考，就很容易找出答案。

首先，将问题换一种描述，变成一道简单的数学题

一只乌龟与一只兔子赛跑，乌龟的起点在兔子前边 100 米，乌龟的速度为每分跑 1 米，兔子的速度为乌龟的 10 倍，求兔子追上乌龟所用的时间。

这道题正常中学生都有能力回答，当兔子追上乌龟时，兔子比乌龟多跑了 100 米，根据这个就可以列出等式，假设用时为 x：

$10x = 100 + x$ $9x = 100$ $x = \frac{100}{9}$

所以兔子在 100/9 分钟之后将追上乌龟。

可以直观的看出，芝诺确实错了，但是具体错在哪？我们不妨将芝诺的描述也进行符号化思考：

假设兔子的速度为每分钟跑 10 米
兔子追上乌龟 100 米时，需要用时 10 分钟
追上乌龟 10 米 时，需要用 1 分钟
追上乌龟 1 米时，需要用时 0.1 分钟

芝诺将时间进行了无限的分割，每一项都是前一项的十分之一，那么，兔子要追上乌龟，需要用时

$x=10 + 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots +$

x 是由无穷个数相加得出的结果，那么无穷个数相加就一定是无穷大吗？我们可以通过图形，很直观的看出，在这个例子中，无穷个数相加的结果（橙色部分）为一个常数（前面提到的 100/9）。而且这个数列的最后一项（蓝色部分）会无穷趋近于 0。

其实很好理解。一个蛋糕，你第一天吃一半，第二天又吃前一天的一半，理论上你可以吃无数天，但是如果把每天吃的蛋糕加起来，总和刚好等于你买的这个蛋糕的量。

通过符号化思考的方式，很容易发现芝诺的错误之处就在于假设了无穷个数相加的结果为无穷大。如果学过数学分析的无穷级数，那么一眼就能看出芝诺悖论的关键所在。

如果学习无穷级数只留在套公式，应付考试，那它是铂金斯所说的利基知识。如果学习无穷级数，是为了掌握背后的思想，那么我们就多了一种认识世界的方式（符号化思考）。所以，我们无论学习多少知识还是学科，都是为了掌握这些学科背后的认知方式。

对于什么才是值得学习的知识这个问题，其实阳志平老师已经有了更好的回答。最近，通过重新学习数学，对阳志平老师的观点才有更深刻的理解。

在《聪明的阅读者》这本书中，阳志平老师已经总结出了人类的九种主流认知方式。

并且在《成长的心智》这本书中进一步阐述了掌握跨学科思维的关键：通过九种认知方式，打破学科界限。

学习这九种认知模式的关键在于「滚雪球」的思路，从不同学科中，提取共同的认知方式，从而熟练掌握并精进每一种认知方式。最后，综合多种认知方式去解决问题，构建高阶模型。